Graficar en Coordenadas Polares

Introduccion:

Las coordenadas polares al igual que las coordenadas cartesianas, nos permite ubicar punto en un espacio bidimensional. El Par Ordenado para determinar cualquier punto es (r,θ). Donde r es longitud o distancia y θ es un ángulo. Para medir r es necesario un punto fijo llamado polo(usualmente es el origen en el plano cartesiano) y para el angulo θ(en radianes) una semirrecta dirigida llamada Eje Polar.

r= Distancia desde el origen del Plano hasta el punto P.

θ= Angulo medido desde el eje polar en sentido antihorario hasta la línea que atraviesa el punto desde el origen

Por ejemplo, el punto P₁ (3, π/4) se representa de esta manera:

  

Mediante este tipo de representación, podemos hacer cosas como estas:

Materiales a usar:

• Hojas milimetradas
• Regla

 

Plano Polar:

Antes de empezar a graficar en coordenadas polares, necesitamos preparar nuestro sistema de referencia. Para esto, dividimos el plano en partes iguales. Esto en función de los ángulos que vamos a utilizar para la grafica.

 

Para este ejemplo vamos a dividir el plano en 12 ángulos iguales. Esto es:

      2Π/12 = Π/6

      360º/12=30º

Esto es como si dividiéramos una torta en 12 pedazos. Para ello tendríamos que cortar cada pedazo con un ángulo de 30º grados.

¿Cómo trazar un ángulo sin usar el transportador?

Si tienes un transportador y no te quieres divertir de más, puedes  omitir esta parte. Pero como lo importante es aprender, vamos a hacerlo usando trigonometría y coordenadas cartesianas.

Utilizaremos la razón trigonométrica tangente (tan), para ubicar los puntos y de esta forma ubicar el ángulo determinado.

Angulo de Π/6 :

Observando la gráfica:

 

Se tiene que:

Conociendo los valores de x e y, podemos gráficar el ángulo. Para esto le damos un valor arbitrario a y (no tan pequeño), y posteriormente encontramos el valor de x.

Primero despejamos a x  y hacemos los calculos pertinentes.  No queda: 

 

Trazamos una recta desde el origen al Punto y se forma el Ángulo

 Ángulo de Π/3:

Trazamos una recta desde el origen al Punto y se forma el Ángulo

Este mismo procedimiento se calculo para los ángulos restantes. Se pueden usar los mismos valores de los cálculos anteriores pero cambiando los signos con respecto al cuadrante en que se esté trabajando.

Al finalizar el plano polar de debe de quedar así:

 

Graficando una espiral logarítmica:

Tal vez una de las gráficas que me han atraído y la cual fue uno de los motivos por lo que realice este blog, la espiral logarítmica. Es quizás el objeto matemático que más se reproduce en la naturaleza: galaxias, tormentas, girasoles, piñones, concha de caracoles y muchas cosas más. Aparece por primera vez en un escrito de  Descartes, en 1638, aunque fue bautizada así por Jackob Bernouilli, en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira mirabilis".

Su fórmula es:

Como se puede observar está en función de θ, esto quiere decir que para cualquier valor de este le corresponde un valor de r. Esto se hizo intencionalmente, ya que es más sencillo trabajar con ángulos en su forma entera, sin tener que realizar conversión alguna.

Para la grafica dividimos el plano polar en 24 partes iguales. Esto es vamos a graficar θ+ Π/12 hasta llegar a 2Π. El cual nos da un total de 24 ángulos:

Posteriormente, realizamos una tabla de valores para sustituir los valores en la grafica:

La hermosa gráfica queda de esta manera:

Espero que le haya servido de mucho. Por favor hagan comentarios, sugerencias y recomendaciones. Gracias.


Bibliografia:

• http://dinamica1.fciencias.unam.mx/Preparatoria8/polares/index.html
• http://www.mitecnologico.com/Main/CoordenadasPolares
• http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Coordenadas_Polares