Las coordenadas polares al igual que las coordenadas
cartesianas, nos permite ubicar punto en un espacio bidimensional. El Par
Ordenado para determinar cualquier punto es (r,θ). Donde r es longitud o
distancia y θ es un ángulo. Para medir r es necesario un punto fijo llamado
polo(usualmente es el origen en el plano cartesiano) y para el angulo θ(en
radianes) una semirrecta dirigida llamada Eje Polar.
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r= Distancia desde el origen del Plano hasta el
punto P.
θ= Angulo medido desde el eje polar en sentido
antihorario hasta la línea que atraviesa el punto desde el origen
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Por ejemplo, el punto P1 (3, π/4) se
representa de esta manera:
Mediante este tipo de representación, podemos hacer
cosas como estas:
Materiales a usar:
- Hojas milimetradas
- Regla
Plano Polar:
Antes de empezar a graficar en coordenadas polares,
necesitamos preparar nuestro sistema de referencia. Para esto, dividimos el
plano en partes iguales. Esto en función de los ángulos que vamos a utilizar
para la grafica.
Para este ejemplo vamos a dividir el plano en 12 ángulos
iguales. Esto es:
2Π/12 = Π/6
360º/12=30º
Esto es como si
dividiéramos una torta en 12 pedazos. Para ello tendríamos que cortar cada
pedazo con un ángulo de 30º grados.
¿Cómo trazar un ángulo sin usar el transportador?
Si tienes un transportador y no te quieres divertir
de más, puedes omitir esta parte. Pero
como lo importante es aprender, vamos a hacerlo usando trigonometría y
coordenadas cartesianas.
Utilizaremos la razón trigonométrica tangente (tan),
para ubicar los puntos y de esta forma ubicar el ángulo determinado.
Angulo de Π/6 :
Observando la gráfica:
Se tiene que:
Conociendo los valores de x e y, podemos gráficar el
ángulo. Para esto le damos un valor arbitrario a y (no tan pequeño), y
posteriormente encontramos el valor de x.
Primero despejamos a x y hacemos los calculos pertinentes. No queda:
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| Trazamos una recta desde el origen al Punto y se forma el Ángulo |
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Ángulo de Π/3:
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| Trazamos una recta desde el origen al Punto y se forma el Ángulo |
Este mismo procedimiento se calculo para los ángulos
restantes. Se pueden usar los mismos valores de los cálculos anteriores pero
cambiando los signos con respecto al cuadrante en que se esté trabajando.
Al finalizar el plano polar de debe de quedar así:
Graficando una espiral logarítmica:
Tal vez una de las gráficas que me han atraído y la cual fue uno
de los motivos por lo que realice este blog, la espiral logarítmica. Es quizás
el objeto matemático que más se reproduce en la naturaleza: galaxias,
tormentas, girasoles, piñones, concha de caracoles y muchas cosas más. Aparece
por primera vez en un escrito de
Descartes, en 1638, aunque fue bautizada así por Jackob Bernouilli, en
un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama
"Spira mirabilis".
Su fórmula es:
Como se puede observar está en función de θ,
esto quiere decir que para cualquier valor de este le corresponde un valor de
r. Esto se hizo intencionalmente, ya que es más sencillo trabajar con ángulos
en su forma entera, sin tener que realizar conversión alguna.
Para la grafica dividimos el plano polar en 24
partes iguales. Esto es vamos a graficar θ+ Π/12 hasta llegar a 2Π. El cual nos
da un total de 24 ángulos:
Espero que le haya servido de mucho. Por favor hagan comentarios, sugerencias y recomendaciones. Gracias.
Bibliografia:
